Родился 25 декабря 1921 года в деревне Кияй, Манского района Красноярского края в крестьянской семье. Русский. Окончил 6 классов. Работал трактористом.
В Красной Армии с апреля 1941 года. В боях Великой Отечественной войны - с июня 1941. Сражался на Южном, Северо-Кавказском и 1-м Украинском фронтах. Член ВКП(б)/КПСС с 1942 года.
Командир орудия 29-го истребительно-противотанкового дивизиона (396-я стрелковая дивизия, 18-я армия, 1-й Украинский фронт) старший сержант Иван Чистяков со своим расчётом 14 декабря 1943 года в бою под городом Житомир (Украина) подбил два вражеских танка и штурмовое орудие.
За мужество и отвагу, проявленные в боях, 1 января 1944 года старший сержант Чистяков Иван Егорович награждён орденом Славы 3-й степени (№ 16).
Командир орудия 29-го истребительно-противотанкового дивизиона (396-я стрелковая дивизия, 38-я армия, 1-й Украинский фронт) старший сержант Чистяков в бою за село Богородичин, расположенное в 10-и километрах западнее посёлка городского типа Обертин Тлумачского района Ивано-Франковской области Украины 1 мая 1944 года прямой наводкой поразил самоходное орудие противника, два пулемёта и более отделения пехоты.
За мужество и отвагу, проявленные в боях, 24 августа 1944 года старший сержант Чистяков Иван Егорович награждён орденом Славы 2-й степени (№ 3587).
В боях восточнее польского населённого пункта Заган (ныне - Жагань) в составе 396-й стрелковой дивизии (13-я армия, 1-й Украинский фронт) орудийный расчёт старшины Ивана Чистякова 12-14 февраля 1945 года подбил вражеский танк, полевое орудие, бронетранспортёр.
Попав уже раненным в окружение, старшина Чистяков вместе с воинами-артиллеристами в рукопашной схватке прорвал вражеское кольцо, вывел бойцов и спас орудие.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 27 июня 1945 года за образцовое выполнение заданий командования в боях с немецко-фашистскими захватчиками старшина Чистяков Иван Егорович награждён орденом Славы 1-й степени (№ 2985), став полным кавалером ордена Славы.
После войны старшина сверхсрочной службы Чистяков И.Е. продолжал службу в армии. С 1962 года - в запасе.
Жил в городе Тюмень. Работал во вневедомственной охране МВД, затем трудился в «Главтюменьгеологии». Скончался 14 июня 1995 года. Похоронен в Тюмени на Червишевском кладбище.
Награждён орденами Отечественной войны 1-й и 2-й степени, Красной Звезды, Славы 1-й, 2-й и 3- й степени, медалями.